“А что, если посчитать СВЕРХ бесконечности? Возможно ли представить себе что-то больше этого? И если да, то каких чисел можно было бы достичь?”

Некоторые бесконечности больше других бесконечностей.

(с) Джон Грин

Назовите самое большое число, которое только придет вам в голову — быстро и не задумываясь.

Миллион?

Миллиард?

А может быть, квадриллион или даже гугол? Окей, возможно, миллиард, умноженный на миллиард? Или еще больше?..

В действительности, самое большое число — это 40.

СОРОК.

Занимает оно больше 12 000 м² земли и сделано из специально высаженных определенным образом деревьев в России. Так что 40 — самое большое число… на Земле. Если говорить о площади поверхности, разумеется.

А если говорить о количестве вещей, то есть о том, что можно посчитать, становится ясно: 40 — далеко не самое большое число. Есть ведь еще 41. И 42. И 43… И 100… И даже упомянутые выше миллион, миллиард и гугол… В конце концов, к любому счетному числу можно со спокойной совестью прибавить 1 — и мы получим число еще большее.

Так можно ли вообще говорить о каком-то САМОМ большом числе?

Или, возможно, это бесконечность?

Нет.

Бесконечность — это не число, а, скорее, разновидность чисел. Бесконечные количества нужны для того, чтобы оперировать счетными количествами чисел, которые не кончаются. Понятно ведь, да? Но некоторые бесконечные количества в буквальном смысле БОЛЬШЕ, чем другие бесконечные количества. А значит, давайте попробуем добраться до них — и, возможно, даже посчитать СВЕРХ них.

Для начала надо разобраться, что такое мощность числа. Любого — даже маленького числа. Например, мощность пяти. Или десяти. Все просто: мощность — это количество элементов, которое показывает это число. Мощность пяти — пять. Десяти — десять Это еще легче запомнить, если заменить любой элемент этого множества чем-то другим — скажем, бананами. Еще раз: мощность пяти бананов — пять. Мощность десяти бананов — десять. Пока все просто.

Мы используем натуральные числа как количественные, чтобы сказать о том, сколько чего-либо. Но существует ли самое большое натуральное число? Им не может быть какое-то число среди натуральных, потому что всегда можно прибавить еще единицу. Поэтому математики придумали специальное обозначение всему количеству таких чисел — алеф-нуль. Алеф (א) — это первая буква алфавита в иврите, а алеф-нуль — первая и самая маленькая бесконечность.

Алеф-нуль — это количество всех натуральных чисел. А также количество всех четных чисел. И количество всех нечетных чисел. И количество всех дробей. И количество всех десятичных дробей. И количество вообще ВСЕГО. Всех чисел, всех вещей, всех атомов во Вселенной. Назовите теперь самое большое число, которое придет вам в голову?

Алеф-нуль БОЛЬШЕ.

Но что же тогда может быть ЕЩЕ больше?

Подмножества.

Представим, к примеру, что у нас есть всего три цифры — 1, 2 и 3. Из элементов этого множества можно сделать подмножество ⦗ничего⦘, подмножество ⦗1⦘, подмножество ⦗2⦘, а еще ⦗3⦘. И, конечно же, ⦗1 и 2⦘, ⦗2 и 3⦘, ⦗1 и 3⦘ и, наконец ⦗1, 2 и 3⦘. С этим вроде разобрались. То есть мы берем наши элементы и группируем их по-разному. И чем больше у нас элементов стартового множества, тем больше количество возможных вариантов, так ведь? Их не просто больше по количеству, их еще и больше по мощности. То есть подмножество ⦗1, 2 и 3⦘ будет фактически больше, чем подмножество ⦗2 и 3⦘. У них разная мощность!

А теперь представьте, СКОЛЬКО подмножеств можно сделать из БЕСКОНЕЧНОГО множества алеф-нуль. И какие числа можно будет получить, произведя нехитрые математические действия — сложить их или перемножить.

И они действительно будут БОЛЬШЕ.

Но зачем нам это знать? Как это применимо в реальной науке?

А никак.

Это не наука, это математика. Математике не нужны реальные доказательства ее выводов. Все, что необходимо, чтобы возник, скажем, алеф-нуль чисел — это сказать: пусть будет алеф-нуль чисел! А если наши расчеты не соответствуют действительности — что ж, можно вернуться и подправить их. Или игнорировать неточности. Или попросту запретить себе делать в вычислениях то, что вызовет эти неточности. Математика указывает не на наши знания о реальном мире, а, скорее, на наши удивительные способности к созданию чего-то нового и систематизации этой информации.

Мы создаем свой собственный цифровой мир, который будет работать по нашим законам. По законам, которые мы сами для него придумали и запустили в действие.

И это невероятно впечатляет.